PROVE QUE operatorname(Lim) sqrt[n](n!)=+infty .

Para provar que , podemos usar o teorema de crescimento comparativo. Vamos comparar com .Sabemos que para suficientemente grande, cresce mais rapidamente do que . Isso pode ser demonstrado usando o teorema de crescimento comparativo, que afirma que se e são duas sequências de números positivos, e se , então para todo .Aplicando isso a e , temos: Como cresce mais lentamente do que , podemos concluir que: Agora, para encontrar o limite de , podemos reescrever como \( (n^n)^{\frac{1}{n}} \): Como , temos: Portanto, o limite de é 1, não . Parece que houve um erro na interpretação inicial. Vamos corrigir isso.Para corrigir a prova, devemos mostrar que cresce mais rapidamente do que . Vamos usar a fórmula de Stirling para : Então, Para grande, é aproximadamente , então: Como cresce mais rapidamente do que , concluímos que: Portanto, a afirmação está correta.