Question
(Cesgranrio)) Um poliedro convexo tem 14 vértices . Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas , em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e , nos demais vertices , concorrem 5 arestas. 0 número de faces desse poliedro é igual a: A 16 B 18 24 30 E 44
Solution
3.7
(162 Votos)
Alejandro
Profissional · Tutor por 6 anos
Resposta
Para resolver esse problema, podemos usar a fórmula de Euler, que relaciona o número de vértices (V), arestas (A) e faces (F) de um poliedro convexo:F + A - V = 2Sabemos que o poliedro tem 14 vértices. Vamos chamar o número de vértices que concorrem a 4 arestas de x, o número de vértices que concorrem a 3 arestas de y e o número de vértices que concorrem a 5 arestas de z.Podemos escrever as seguintes equações:x + y + z = 14 (equação 1)4x + 3y + 5z = 2A (equação 2)Agora, precisamos encontrar o número de arestas (A). Para isso, podemos usar a fórmula de Euler modificada para poliedros convexos:F + A - 2V = 2Substituindo os valores conhecidos:F + A - 2(14) = 2F + A - 28 = 2F + A = 30 (equação 3)Agora, podemos substituir a equação 3 na equação 2:4x + 3y + 5z = 2(F + A - 2V)4x + 3y + 5z = 2(30 - 28)4x + 3y + 5z = 4Agora, podemos resolver o sistema de equações formado pelas equações 1, 2 e 3 para encontrar o valor de z:x + y + z = 144x + 3y + 5z = 4F + A = 30Resolvendo o sistema, encontramos que z = 6.Portanto, o número de faces desse poliedro é igual a 30. A resposta correta é a opção D.