3. 0 conjunto B= f:Rarrow Rvert f(x)=f(-x) das funçoes pares, é um subespaç vetorial das funções reais?(Justifique sua resposta). 4. Verifique se o subconjunto abaixo. é subespaco vetorial do R^3

Para justificar se o conjunto \( B = \{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f(x) = f(-x) \} \) das funções pares é um subespaço vetorial das funções reais, precisamos verificar se ele satisfaz as propriedades de um subespaço vetorial.Primeiro, devemos verificar se o conjunto contém o zero vetorial. O zero vetorial é a função constante \( f(x) = 0 \) para todo em . Podemos ver que \( f(-x) = 0 \) para todo em , o que significa que \( f(x) = f(-x) \). Portanto, o zero vetorial está contido em .Em segundo lugar, devemos verificar se é fechado sob adição. Se e pertencem a , então \( f(x) = f(-x) \) e \( g(x) = g(-x) \) para todo em . Agora, vamos considerar a soma de e , que é \( (f+g)(x) = f(x) + g(x) \). Precisamos mostrar que \( (f+g)(-x) = (f+g)(x) \). Substituindo na expressão, temos \( (f+g)(-x) = f(-x) + g(-x) \). Como \( f(x) = f(-x) \) e \( g(x) = g(-x) \), temos \( (f+g)(-x) = f(x) + g(x) = (f+g)(x) \). Portanto, a adição de funções em resulta em uma função que também pertence a .Por fim, devemos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Se pertence a , então \( f(x) = f(-x) \) para todo em . Agora, vamos considerar o produto de por um escalar , que é \( (\lambda f)(x) = \lambda f(x) \). Precisamos mostrar que \( (\lambda f)(-x) = (\lambda f)(x) \). Substituindo na expressão, temos \( (\lambda f)(-x) = \lambda f(-x) \). Como \( f(x) = f(-x) \), temos \( (\lambda f)(-x) = \lambda f(x) = (\lambda f)(x) \). Portanto, a multiplicação por escalar de funções em resulta em uma função que também pertence a .Como o conjunto contém o zero vetorial, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço vetorial das funções reais.Para a segunda pergunta, você não forneceu o subconjunto específico de que deseja verificar se é um subespaço vetorial. Por favor, forneça o subconjunto para que eu possa ajudá-lo a verificar se ele é um subespaço vetorial de .