5. Prove que a transformação linear T:R^2arrow R^3 dada por T(x,y)=(x+2y,x+y,x-y) é injetiva.

Para provar que a transformação linear dada por \( T(x, y) = (x + 2y, x + y, x - y) \) é injetiva, precisamos mostrar que é uma função injetora, ou seja, que é uma função que mapeia diferentes elementos de para diferentes elementos de .Para isso, vamos considerar dois vetores \( (x_1, y_1) \) e \( (x_2, y_2) \) em tais que \( T(x_1, y_1) = T(x_2, y_2) \). Então, temos:\( (x_1 + 2y_1, x_1 + y_1, x_1 - y_1) = (x_2 + 2y_2, x_2 + y_2, x_2 - y_2) \)Comparando as coordenadas correspondentes, temos: (1) (2) (3)A partir da equação (3), podemos concluir que e . Portanto, \( (x_1, y_1) = (x_2, y_2) \).Portanto, a transformação é injetora, pois para cada vetor \( (x, y) \) em , existe um vetor único \( (x + 2y, x + y, x - y) \) em tal que \( T(x, y) = (x + 2y, x + y, x - y) \).