2. Integração Regiōes não Retangulares - Calcule a integral iint _(D)x^2e^xydA onde D é a região definida por D= (x,y)vert 0leqslant xleqslant 2,(x)/(4)xleqslant yleqslant 2

Para calcular a integral sobre a região definida por \(D=\{ (x,y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2, \frac{x}{4} \leqslant y \leqslant 2 \}\), podemos usar a técnica de integração por partes e considerar a ordem de integração.Vamos primeiro definir a integral de forma explícita: Vamos calcular a integral interna : Para isso, vamos considerar . Então, . Reescrevendo a integral em termos de : onde os limites de são de a . Simplificando, temos: Agora, podemos calcular a integral externa : Calculando os limites: Agora, podemos calcular a integral externa: Para isso, podemos usar propriedades de integração e decompor a integral em duas partes: Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.Para a primeira integral: Podemos usar integração por partes. Seja e . Então, e . Calculando os limites: Para a segunda integral:\[\int_{0}^{2}