Question
6) Encontre a solução geral da equação diferencial: y'=ln(y-xy')
Solution
4
(259 Votos)
Ricardo
Mestre · Tutor por 5 anos
Resposta
Para encontrar a solução geral da equação diferencial dada, podemos usar o método de separação de variáveis. Vamos reescrever a equação diferencial da seguinte forma:
Podemos isolar a derivada de
em um lado da equação:
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Para isolar a derivada de
, podemos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Agora, vamos substituir
por
:
Para resolver essa equação diferencial, podemos usar uma substituição. Vamos fazer
:
Agora, podemos substituir
por
na equação diferencial:
Podemos isolar a derivada de
em um lado da equação:
Agora, podemos resolver essa equação diferencial separando as variáveis
e
. Vamos isolar a derivada de
em um lado da equação:
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Agora, podemos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando uma substituição. Vamos fazer
:
A integral do lado direito pode ser resolvida usando integração por partes. Vamos fazer
e
:
Aplicando integração por partes, temos:
Simplificando a equação, temos:
Agora, podemos substituir
por
e
por
:
Simplificando a equação, temos:
Agora, podemos resolver a integral do lado direito usando integração por partes. Vamos fazer
e
:
Aplicando integração por partes, temos:
Simplificando a equação, temos:$\int \frac{1}{u \ln(u)} du = w \int dz - \int \left(\frac{1}{u}\right