8-Determine o valor de m na funçáo real f(x)=-3 x^2 +2(m-1) x+(m+1) para que o valor máximo seja 2

Para determinar o valor de na função \( f(x)=-3x^{2}+2(m-1)x+(m+1) \) para que o valor máximo seja 2, podemos utilizar o conceito de vértice da parábola.A função quadrática \( f(x)=-3x^{2}+2(m-1)x+(m+1) \) é uma parábola com coeficiente negativo, o que significa que ela abre para baixo. Portanto, o vértice da parábola será o ponto de máximo.Para encontrar o vértice, podemos utilizar a fórmula , onde é o coeficiente do termo quadrático e é o coeficiente do termo linear.No caso da função dada, temos e \( b = 2(m-1) \). Substituindo esses valores na fórmula, temos:\( x = -\frac{2(m-1)}{2(-3)} \)Simplificando, temos: Agora, substituindo esse valor de na função original, temos:\( f\left(\frac{m-1}{3}\right) = -3\left(\frac{m-1}{3}\right)^{2} + 2(m-1)\left(\frac{m-1}{3}\right) + (m+1) \)Simplificando essa expressão, temos:\( f\left(\frac{m-1}{3}\right) = -\frac{(m-1)^{2}}{3} + \frac{2(m-1)^{2}}{3} + (m+1) \)\( f\left(\frac{m-1}{3}\right) = \frac{(m-1)^{2}}{3} + (m+1) \)Para que o valor máximo seja 2, basta igualar essa expressão a 2:\( \frac{(m-1)^{2}}{3} + (m+1) = 2 \)Multiplicando toda a equação por 3 para eliminar o denominador, temos:\( (m-1)^{2} + 3(m+1) = 6 \)Expandindo e simplificando, temos: Fatorando essa equação quadrática, temos:\( (m-1)(m+2) = 0 \)Portanto, as soluções para são e . No entanto, se substituirmos na função original, ela se torna uma linha reta, o que não é uma função quadrática. Portanto, a única solução válida é .