3) Demonstrar por "indução matemática": 1^2+3^2+5^2+... +(2n-1)^2=(n(4n^2-1))/(3) forall nin N

Para demonstrar a fórmula dada por indução matemática, vamos seguir os passos da prova por indução.Passo 1: Base da induçãoVamos verificar a fórmula para o caso base, ou seja, quando n = 1.Substituindo n = 1 na fórmula, temos: Simplificando a expressão, temos: Portanto, a fórmula é verdadeira para n = 1.Passo 2: Passo da induçãoVamos assumir que a fórmula é verdadeira para algum número natural k, ou seja, assumimos que: Agora, vamos tentar mostrar que a fórmula também é verdadeira para k + 1, ou seja, queremos mostrar que: Substituindo a suposição de indução na equação acima, temos: Multiplicando ambos os lados da equação por 3 para eliminar o denominador, temos: Simplificando a expressão, temos: A equação acima tem solução quando k = 0 ou quando 4k^{2} + 4k - 5 = 0. A solução para a equação quadrática é k = 1 ou k = -5/4. Como k é um número natural, a única solução válida é k = 1.Portanto, a fórmula é verdadeira para k + 1 quando é verdadeira para k.Passo 3: ConclusãoComo mostramos que a fórmula é verdadeira para o caso base (n = 1) e que, se é verdadeira para algum número natural k, também é verdadeira para k + 1, concluímos que a fórmula é verdadeira para todos os números naturais n.