9) Demonstrar por "indução matemática": 2vert (3^n-1) forall nin N

Para demonstrar a afirmação por indução matemática, vamos seguir os passos da prova por indução.Passo 1: Base da induçãoVamos verificar se a afirmação é verdadeira para n = 1. , que é verdadeiro.Passo 2: Passo da induçãoSuponha que a afirmação é verdadeira para n = k, ou seja, .Queremos mostrar que a afirmação também é verdadeira para n = k+1, ou seja, .Podemos reescrever como .Substituindo na afirmação, temos: .Agora, podemos fatorar como .Portanto, temos: .Como , podemos escrever como , onde m é um inteiro.Substituindo na equação, temos: .Portanto, a afirmação é verdadeira para n = k+1.Passo 3: ConclusãoComo a afirmação é verdadeira para n = 1 (base da indução) e se a afirmação é verdadeira para n = k+1 (passo da indução), podemos concluir que a afirmação é verdadeira para todos os n ∈ N.Portanto, a afirmação é verdadeira.