10. Encontre a solução em séries de potências da equação diferencial não homogênea em torno do ponto x_(0)=0 a) y''+xy=senx+cosx b) y''+senxy'=e^x

Para resolver essas equações diferenciais não homogêneas, podemos usar o método das séries de potências.a) Para a equação , podemos assumir uma solução da forma , onde são os coeficientes da série de potências.Substituindo essa solução na equação diferencial, temos: Agora, podemos igualar os coeficientes de mesma potência de em ambos os lados da equação:Para : Para : Para : Para : E assim por diante.Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os coeficientes para . Os coeficientes e podem ser encontrados usando as condições iniciais da solução.b) Para a equação , podemos assumir uma solução da forma , onde são os coeficientes da série de potências.Substituindo essa solução na equação diferencial, temos: Agora, podemos igualar os coeficientes de mesma potência de em ambos os lados da equação:Para : Para : Para : Para : E assim por diante.Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os coeficientes para . O coeficiente pode ser encontrado usando as condições iniciais da solução.Lembre-se de verificar a convergência da série de potências encontrada para garantir que ela seja uma solução válida para a equação diferencial.