Quando descjamos estudar se um homomorfismo injetor, podemos empregar o estudo do nucleo dessa aplicaçdo, utilizando os resultados correspondentes. Diante desse tema, considere os sequintes homomorfismos f:Zarrow Z xlongmapsto f(x)=x g:Ztimes Zarrow Ztimes Z (x,y)longmapsto g(x,y)=(0,x) A partir dessas aplicaçóes analise as seguintes afirmaçoes: 1. Onucleo do homomorfismo fé composto apenas pelo numero inteiro zero II. Onucleo do homomorfismo fé composto por todos os numeros inteiros III. O nucleo do homomorfismo é composto apenas pelo vetor nulo (0,0) Está correto o que se afirma apenas em

Para analisar as afirmações sobre os núcleos dos homomorfismos dados, vamos primeiro entender o conceito de núcleo de uma função. O núcleo de uma função é o conjunto de todos os elementos de que são mapeados para o elemento neutro de . Em outras palavras, é o conjunto de todos os elementos de que são fixados por .Vamos analisar cada homomorfismo:1. , \( x \longmapsto f(x) = x \) - Neste caso, o núcleo de é o conjunto de todos os inteiros que são fixados por . Como \( f(x) = x \) para todo , o núcleo de é todo o conjunto dos inteiros .2. , \( (x, y) \longmapsto g(x, y) = (0, x) \) - Para este homomorfismo, o núcleo é o conjunto de todos os pares ordenados \( (x, y) \) que são fixados por . Como \( g(x, y) = (0, x) \), isso significa que deve ser igual a 0 para que fixe o par \( (x, y) \). Portanto, o núcleo de é o conjunto de todos os pares ordenados \( (x, 0) \) para .Agora, analisando as afirmações:1. O núcleo do homomorfismo é composto apenas pelo número inteiro zero. - Incorreto. O núcleo de é todo o conjunto dos inteiros .2. O núcleo do homomorfismo é composto por todos os números inteiros. - Correto. Como explicado, o núcleo de é todo o conjunto dos inteiros .3. O núcleo do homomorfismo é composto apenas pelo vetor nulo \( (0, 0) \). - Incorreto. O núcleo de é o conjunto de todos os pares ordenados \( (x, 0) \) para , que não é apenas o vetor nulo \( (0, 0) \).Portanto, a afirmação correta é a II: "O núcleo do homomorfismo é composto por todos os números inteiros".