int (x^2-3 x+1)/((x-1)(x^2)-x+1) d x

Para resolver essa integral, podemos usar a decomposição em fracos parciais. Primeiro, vamos decompor a fração na forma:\(\frac{x^{2}-3 x+1}{(x-1)\left(x^{2}-x+1\right)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^{2}-x+1}\)Multiplicando ambos os lados por \((x-1)\left(x^{2}-x+1\right)\), obtemos:\(x^{2}-3x+1 = A(x^{2}-x+1) + (Bx+C)(x-1)\)Expandindo e agrupando os termos, temos: \(x^{2}-3x+1 = (A+B)x^{2}+(-A-B+C)x-C\)Comparando os coeficientes, temos o seguinte sistema de equações:1. 2. 3. Resolvendo o sistema, encontramos , e . Portanto, a decomposição em fracos parciais é:\(\frac{x^{2}-3 x+1}{(x-1)\left(x^{2}-x+1\right)} = \frac{2}{x-1} + \frac{-x-1}{x^{2}-x+1}\)Agora, podemos integrar cada fração separadamente: Para integrar a segunda fração, podemos usar a substituição , então \(du = (2x-1)dx\). Rearranjando a integral, temos: No entanto, essa integral não pode ser resolvida de forma elementar. Portanto, a resposta final é:\(\int \frac{x^{2}-3 x+1}{(x-1)\left(x^{2}-x+1\right)} d x = 2 \ln |x-1| - \int \frac{x+1}{x^{2}-x+1} d x\)