4. Calcule int _(gamma )xdx+dy+2dz onde yé a interseção do paraboloide z=x^2+y^2 com o plano z=2x+2y-1 : 0 sentido de percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de gamma (t) , no plano xy, caminhe no sentido anti-horário.

Para calcular a integral de linha \(\int_{\gamma} (x \, dx + dy + 2 \, dz)\), onde é a interseção do paraboloide com o plano , precisamos seguir alguns passos:1. **Encontrar a curva de interseção **: A interseção ocorre quando . Simplificando, obtemos: Esta é a equação de um círculo com centro em \((1, 1)\) e raio .2. **Parametrizar a curva **: Podemos parametrizar o círculo usando coordenadas polares: 3. **Calcular os diferentesímetros , , e **: 4. **Substituir na integral de linha**: 5. **Simplificar a expressão**: 6. **Integrar**: Note que \(\int_{0}^{2\pi} \sin(\theta) \, d\theta = 0\) porque \(\sin(\theta)\) é uma função periódica com período . Para a primeira integral, podemos usar uma substituição \(u = \sin(\theta)