Quentáo 7) Calcule a untrralal de linha int_(c) F . dr ande c i dado pela Lumpoo vetanal (r(t)) 21) F(x, y, z)=operatorname(sen) vec(x) i+cos gamma vec(theta)+x z k, r(t): t^3 vec(imath)-t^2 vec(theta)+t vec(kz) 0 leq t leq 1

Para calcular a integral de linha , onde é dado pela função vetorial \( r(t) \), precisamos primeiro encontrar a derivada de \( r(t) \) em relação a .Dada a função vetorial \( r(t) = t^{3} \vec{\imath} - t^{2} \vec{\jmath} + t \vec{\kappa} \), podemos calcular a derivada de \( r(t) \) em relação a como: Agora, podemos calcular a integral de linha substituindo \( F(x, y, z) \) e na integral:\( \int_{c} F \cdot dr = \int_{0}^{1} F(r(t)) \cdot \frac{dr}{dt} dt \)Substituindo \( F(x, y, z) = \sin(x) \vec{\imath} + \cos(y) \vec{\jmath} + xz \vec{\kappa} \) e na integral, temos:\( \int_{c} F \cdot dr = \int_{0}^{1} (\sin(t^{3}) \vec{\imath} + \cos(-t^{2}) \vec{\jmath} + t^{3}z \vec{\kappa}) \cdot (3t^{2} \vec{\imath} - 2t \vec{\jmath} + \vec{\kappa}) dt \)Simplificando a integral, temos:\( \int_{c} F \cdot dr = \int_{0}^{1} (3t^{2}\sin(t^{3}) - 2t\cos(-t^{2}) + t^{3}z) dt \)Agora, podemos calcular a integral usando técnicas de integração adequadas.