3. (3 pontos) Dada a sequência de Fibonacci (u_(1),u_(2),u_(3),ldots ,u_(n),u_(n+1),u_(n+2),ldots ) onde u_(n+2)=u_(n+1)+ u_(n) mostre que u_(3)+u_(6)+u_(9)+... +u_(3n)=(u_(3n+2)-1)/(2)

Para mostrar que a soma dos termos da sequência de Fibonacci de índices múltiplos de 3 é igual a , podemos usar uma prova por indução.Basis da indução: Para , temos . Portanto, a afirmação é verdadeira para .Hipótese de indução: Supomos que a afirmação é verdadeira para algum inteiro , ou seja, .Passo de indução: Queremos mostrar que a afirmação é verdadeira para , ou seja, .Usando a hipótese de indução, temos: Sabemos que , então podemos substituir na equação acima: Agora, usando a definição da sequência de Fibonacci, temos , então podemos substituir na equação acima: Portanto, a afirmação é verdadeira para .Conclusão: Pelo princípio de indução matemática, a afirmação é verdadeira para todos os inteiros positivos .