Exercicio 4. Verifque quais propriedades são satisfeitas ela operação ast :Qarrow Q;aast b=(ab)/(3)

Para verificar as propriedades da operação definida por , vamos analisar cada uma das propriedades comuns das operações binárias:1. **Comutatividade**: - Para verificar se a operação é comutativa, devemos verificar se para todos . - e . - Como a multiplicação de números racionais é comutativa ( ), temos que . - Portanto, a operação é comutativa.2. **Associatividade**: - Para verificar se a operação é associativa, devemos verificar se \((a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)\) para todos . - \((a \ast b) \ast c = \left(\frac{ab}{3}\right) \ast c = \frac{\left(\frac{ab}{3}\right)c}{3} = \frac{abc}{9}\). - \(a \ast (b \ast c) = a \ast \left(\frac{bc}{3}\right) = \frac{a \cdot \left(\frac{bc}{3}\right)}{3} = \frac{abc}{9}\). - Portanto, a operação é associativa.3. **Identidade aditiva**: - Para verificar se existe uma identidade aditiva, devemos encontrar um elemento tal que para todo . - . - Isolando , temos . - Portanto, a identidade aditiva é .4. **Inverso multiplicativo**: - Para verificar se cada elemento tem um inverso multiplicativo, devemos encontrar um elemento tal que para todo . - . - Isolando , temos . - Portanto, o inverso multiplicativo de é .5. **Distributividade**: - Para verificar se a operação é distributiva em relação à adição, devemos verificar se \(a \ast (b + c) = (a \ast b) + (a \ast c)\) para todos . - \(a \ast (b + c) = \frac{a(b + c)}{3} = \frac{ab + ac}{3}\). - \((a \ast b) + (a \ast c) = \frac{ab}{3} + \frac{ac}{3} = \frac{ab + ac}{3}\). - Portanto, a operação é distributiva.6. **Distributividade**: - Para verificar se a operação é distributiva em relação à multiplicação, devemos verificar se \(a \ast (b \cdot c) = (a \ast b) \cdot (a \ast c)\) para todos . - \(a \ast (b \cdot c) = \frac{a(b \cdot c)}{3} = \frac{abc}{3}\). - \((a \ast b) \cdot (a \ast c) = \left(\frac{ab}{3}\right) \cdot \left(\frac{ac}{3}\right) = \frac{abc}{9}\). - Portanto, a operação não é distributiva em relação à multiplicação.Resumindo, a operação definida por satisfaz as propriedades de comutatividade, associatividade, identidade aditiva, inverso multiplicativo e distributividade em