Exercice (1) A) on considère la suite numérique définie par: [ forall n in mathbb(N), u_(n)=(3 n+1)/(n+1) ] 1 - Calculer u_(0), u_(2), u_(2) et u_(3) 2. Montrer que forall n in mathbb(N), u_(n) leqslant 3 3 - a) Montrer que (mathrm(Un)) ert une suite croissante. b) Déduire que forall n in mathbb(N), u_(n) geqslant 1 c) Déduire que la suite (u_(n)) est bornée B) soit (v_(n)) une suite numérique dont les 6 premier termes sout 1-7-13-19-25-31 quelle est la nature de la suite (v_(n)) en déterminantes caractéristiques.

Exercice (1)A) 1. Calculons et : 2. Montrons que : Puisque est toujours positif pour tout , nous avons .3. a) Montrons que \( (u_{n}) \) est une suite croissante : Donc, \( (u_{n}) \) est une suite croissante. b) Déduisons que : Puisque \( (u_{n}) \) est une suite croissante et , nous avons . c) Déduisons que la suite \( (u_{n}) \) est bornée : Puisque \( (u_{n}) \) est une suite croissante et bornée supérieurement par 3, elle est bornée.B) La suite \( (v_{n}) \) est définie par les 6 premiers termes . En déterminant les caractéristiques, nous pouvons voir que la différence entre les termes consécutifs est constante, donc \( (v_{n}) \) est une suite arithmétique.