1. Resolva as equaçōes diferencias a baxo: [ y^prime prime-12 y^prime+36 y=0 ; y(0^prime)=1 ( e ) y^prime(0)=0 ]

Para resolver a equação diferencial dada, podemos usar o método de solução geral. A equação diferencial é uma equação diferencial linear de segundo ordem. A forma geral da solução para essa equação é: onde e são as raízes da equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida a partir da equação diferencial substituindo e por seus valores correspondentes em termos de e .Para a equação diferencial dada, a equação característica é: Resolvendo essa equação quadrática, encontramos duas raízes: e . Ambas as raízes são iguais, o que significa que a equação diferencial tem uma solução geral da forma: Agora, podemos usar as condições iniciais \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 0 \) para determinar os valores de e . Substituindo na solução geral, temos: Para encontrar , podemos derivar a solução geral e usar a condição \( y'(0) = 0 \). A derivada da solução geral é: Substituindo , temos: Portanto, e . Substituindo esses valores na solução geral, temos: Portanto, a solução para a equação diferencial dada é: