Calculando a área total do interior da rosa r=sen2Theta

Question

Answer 1

Para calcular a área total do interior da rosa \( r = \sin(2\Theta) \), precisamos usar a fórmula da área em coordenadas polares:

Primeiro, integramos em

:

Agora, integramos em

:

Simplificando, temos:

Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica \( \sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} \):

Substituindo na integral, temos:

Dividimos a integral em duas partes:

A primeira integral é simples:

Para a segunda integral, sabemos que \( \cos(4\Theta) \) é uma função periódica com período

. A integral de \( \cos(4\Theta) \) de 0 a

é zero, pois é uma função com período

e a integral de uma função periódica sobre um intervalo maior que o período é zero.Portanto, a integral da segunda parte é zero:

Então, a área total é:

Portanto, a área total do interior da rosa \( r = \sin(2\Theta) \) é

.

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