[ y^prime prime+9 y=e^-2 x ] Uhando o róétodo do arpeaiz indeter minado.

Para resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados, seguimos os seguintes passos:1. **Resolver a equação homogênea associada**: A equação homogênea é . A solução característica é obtida resolvendo , que resulta em . Portanto, a solução geral da homogênea é: 2. **Propor uma solução particular para a equação não homogênea**: Dado que o termo não homogêneo é , propomos uma solução particular da forma: onde é uma constante a ser determinada.3. **Substituir \( y_p(x) \) na equação original**: Calculamos as derivadas de \( y_p(x) \): Substituímos \( y_p(x) \), \( y_p'(x) \) e \( y_p''(x) \) na equação original: Simplificando, obtemos: Dividindo ambos os lados por , temos: 4. **Escrever a solução geral da equação não homogênea**: A solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular: Portanto, a solução geral da equação diferencial dada é: