EXERCICE 01: (13pts) Partie (1) On considère la fonction g définie sur ]-1;+infty [par:g(x)=(-x)/(x+1)+2ln(x+1) 1) Calculer lim _(xarrow +infty )g(x) et montrer que lim _(xarrow -1^+)g(x) 2) Calculer g' puis dresser le tableau de variations de la fonction a 3) Montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution alpha sur -1;-(1)/(2)[ 4) Calculer g(0) , puis donner le tableau de signe de g(x) Partie (M)

1) Pour calculer , nous devons examiner le comportement de la fonction g(x) lorsque x tend vers l'infini. En simplifiant l'expression de g(x), nous obtenons : Lorsque x tend vers l'infini, le terme tend vers -1 et le terme tend vers l'infini. Par conséquent, .Pour montrer que existe, nous devons examiner le comportement de la fonction g(x) lorsque x approche -1 par la droite. En simplifiant l'expression de g(x), nous obtenons : Lorsque x approche -1 par la droite, le terme tend vers 1 et le terme tend vers l'infini. Par conséquent, .2) Pour calculer , nous devons dériver l'expression de g(x) par rapport à x. En utilisant la règle du quotient et la règle de la chaîne, nous obtenons : Pour dresser le tableau de variations de la fonction g(x), nous devons trouver les valeurs de x pour lesquelles . En résolvant l'équation , nous obtenons . Par conséquent, le tableau de variations de g(x) est :x | -1 | -\frac{1}{2} | +\infty---|---|---|---g'(x) | - | 0 | +g(x) | +\infty | 0 | -13) Pour montrer que l'équation admet une unique solution sur , nous devons trouver les valeurs de x pour lesquelles . En résolvant l'équation , nous obtenons . Par conséquent, l'équation admet une unique solution sur .4) Pour calculer , nous remplaçons x par 0 dans l'expression de g(x) : Pour donner le tableau de signe de , nous devons trouver les valeurs de x pour lesquelles et pour et pour .