7. iint _(S)ydS S é o helicoide com equação vetorial r(u,v)=langle ucosv,usenv,vrangle ,0leqslant uleqslant 1,0leqslant vleqslant pi

Question

Answer 1

Para resolver a integral dupla sobre o helicoide dado, primeiro precisamos encontrar as coordenadas cartesianas da superfície em termos das variáveis

e

. A equação vetorial fornecida é \(r(u, v) = \langle u \cos(v), u \sin(v), v \rangle\), onde

e

.As coordenadas cartesianas são:

Agora, calculamos o elemento de área

para a superfície curva. Para isso, precisamos calcular o vetor normal

à superfície. O vetor normal

é dado por:

Calculamos as derivadas parciais:

O produto vetorial é:

O elemento de área

é:

Agora, substituímos

,

e

na integral e integramos sobre o domínio dado:

Integramos em

primeiro:

Então, a integral se torna:

Portanto, o valor da integral é:

Question