20. iint _(S)(x^2+y^2+z^2)dS S é a parte do cilindro x^2+y^2=9 entre os planos z=0 e z=2 juntamente com os discos inferior e superior 37.

Para resolver a integral dupla sobre a superfície , podemos usar a propriedade da integral de superfície. A integral de superfície da função \( f(x, y, z) \) sobre a superfície é dada pela fórmula: Nesse caso, temos \( f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \) e é a parte do cilindro entre os planos e juntamente com os discos inferior e superior.Para calcular a integral de superfície, precisamos calcular a derivada parcial de em relação a e , calcular o módulo do vetor normal à superfície e, em seguida, multiplicar a função \( f(x, y, z) \) por esse módulo.Calculando as derivadas parciais, temos: Portanto, o módulo do vetor normal à superfície é igual a 1.Agora, podemos calcular a integral de superfície: Simplificando, temos: Para calcular essa integral, podemos dividir a superfície em duas partes: o cilindro entre os planos e , e os discos inferior e superior.Para o cilindro, podemos fazer a substituição \( x = 3 \cos(\theta) \) e \( y = 3 \sin(\theta) \), onde varia de 0 a . Então, temos: Simplificando, temos: Calculando a integral, temos: Simplificando, temos: Calculando a integral, temos: Simplificando, temos: Calculando a integral, temos:\[ \iint_{S} (x^2