4. Calcule int _(gamma )xdx+dy+2dz onde yé a interseção do paraboloide z=x^2+y^2 com o plano z=2x+2y-1 ; o sentido de percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de gamma (t) , no plano xy, caminhe no sentido anti-horário.

Para calcular a integral de linha \(\int_{\gamma} (x \, dx + dy + 2 \, dz)\), onde é a interseção do paraboloide com o plano , precisamos seguir alguns passos:1. **Encontrar as curvas de interseção **: As curvas de interseção são as soluções do sistema de equações: Igualando as duas equações para : Reorganizando: Esta é a equação de uma circunferência com centro em \((1, 1)\) e raio . Portanto, a interseção é uma ponto único \((1, 1, 2)\).2. **Parametrizar a curva **: Como é um ponto único, podemos parametrizá-lo como uma linha reta. Uma parametrização simples é: 3. **Calcular a integral de linha**: A integral de linha ao longo de é: Substituindo , , e (pois é constante): Simplificando: Portanto, a integral de linha \(\int_{\gamma} (x \, dx + dy + 2 \, dz)\) é igual a .