Determine a taxa de variação máxima da função f(x,y,z)=(x+y)/(z) no ponto (1,1,-1) e a direção em que isso ocorre.

【Resposta】: 1. Taxa de variação máxima: 2. Direção: \((\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}})\)【Explicação】:1. Para encontrar a taxa de variação máxima da função \(f(x,y,z) = \frac{x+y}{z}\) no ponto (1,1,-1), precisamos calcular o gradiente de nesse ponto. O gradiente de uma função nos dá a direção da maior taxa de aumento e seu módulo nos dá a taxa de variação máxima. O gradiente de , denotado como , é o vetor das derivadas parciais de . Assim: Calculamos cada derivada parcial: No ponto (1,1,-1), temos: 2. A taxa de variação máxima é o módulo do gradiente neste ponto. O módulo de um vetor \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)\) é dado por . Portanto: Assim, a taxa de variação máxima é .3. A direção da maior taxa de variação é a direção do gradiente normalizado. Um vetor normalizado é obtido dividindo-se o vetor pelo seu módulo. Então, o gradiente normalizado é: No entanto, como estamos lidando com taxas de variação, o sinal negativo apenas indica a direção oposta. Portanto, a direção da taxa de variação máxima é \(\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}}\right)\).