. Seja a transformação linear L: R^3arrow R^2 , com L(x,y,z)=(x+y,2x+3z) Determine: a) Seu núcleo. b) Lé injetiva ? Por quê?

Para resolver as questões, vamos analisar a transformação linear dada por \( L(x, y, z) = (x + y, 2x + 3z) \).### a) Núcleo de O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores \( (x, y, z) \) em que são mapeados para o vetor nulo \( (0, 0) \) em . Em outras palavras, precisamos encontrar todos os \( (x, y, z) \) tais que \( L(x, y, z) = (0, 0) \).Dada a transformação \( L(x, y, z) = (x + y, 2x + 3z) \), igualamos a zero: Resolvendo o sistema de equações:1. Da primeira equação, , temos .2. Substituindo na segunda equação, , temos: Portanto, qualquer vetor \( (x, y, z) \) que satisfaça e pertence ao núcleo de . Em termos de vetores, o núcleo é: ### b) Injetividade de Para determinar se é injetiva, precisamos verificar se cada vetor em é imagem de pelo menos um vetor em . Ou seja, precisamos verificar se a transformação é sobrejetora.Considere um vetor \( (a, b) \) em . Precisamos encontrar \( (x, y, z) \) em tal que \( L(x, y, z) = (a, b) \).Dada a transformação \( L(x, y, z) = (x + y, 2x + 3z) \), igualamos a \( (a, b) \): Resolvendo o sistema de equações:1. Da primeira equação, , temos .2. Substituindo na segunda equação, , temos: Portanto, para qualquer vetor \( (a, b) \) em , existe um vetor \( (x, a - x, \frac{b - 2x}{3}) \) em tal que \( L(x, a - x, \frac{b - 2x}{3}) = (a, b) \). Isso significa que é sobrejetora.Portanto, é injetiva.### Resumoa) O núcleo de é: b) é injetiva.