Demonstrar por "indução matemática": a+acdot q+acdot q^2+... +acdot q^n=(a(q^n+1-1))/(q-1) vee nin N

Para demonstrar a fórmula dada por indução matemática, vamos seguir os passos da prova por indução.Passo 1: Base da induçãoQuando n = 0, a fórmula se torna:a = aO que é verdadeiro.Passo 2: Passo da induçãoSupomos que a fórmula seja verdadeira para algum inteiro k, ou seja, supomos que:a + a·q + a·q^2 +... + a·q^k = (a·q^(k+1) - a) / (q - 1)Queremos mostrar que a fórmula também é verdadeira para k + 1, ou seja, queremos mostrar que:a + a·q + a·q^2 +... + a·q^k + a·q^(k+1) = (a·q^(k+2) - a) / (q - 1)Podemos reescrever a expressão do lado esquerdo da equação como:a + a·q + a·q^2 +... + a·q^k + a·q^(k+1) = (a·q^(k+1) - a) / (q - 1) + a·q^(k+1)Simplificando a expressão, temos:a + a·q + a·q^2 +... + a·q^k + a·q^(k+1) = (a·q^(k+1) - a + a·q^(k+1)) / (q - 1)a + a·q + a·q^2 +... + a·q^k + a·q^(k+1) = (2a·q^(k+1) - a) / (q - 1)Agora, podemos simplificar ainda mais a expressão:a + a·q + a·q^2 +... + a·q^k + a·q^(k+1) = a·(2q^(k+1) - 1) / (q - 1)Multiplicando ambos os lados da equação por (q - 1), temos:a(q - 1) + a·q + a·q^2 +... + a·q^k + a·q^(k+1) = a·(2q^(k+1) - 1)Simplificando a expressão, temos:a(q^(k+2) - q) + a·q + a·q^2 +... + a·q^k = a·(2q^(k+1) - 1)Agora, podemos reescrever a expressão do lado esquerdo da equação como:a·q^(k+2) + a·q^(k+1) + a·q^k +... + a·q^2 + a·q + a = a·(2q^(k+1) - 1)Simplificando a expressão, temos:a·q^(k+2) + a·q^(k+1) + a·q^k +... + a·q^2 + a·q + a = a·(2q^(k+1) - 1)Agora, podemos reescrever a expressão do lado direito da equação como:a·(2q^(k+1) - 1) = a·(2q^(k+1) - 1)Portanto, a fórmula é verdadeira para k + 1, se é verdadeira para k.Concluímos que a fórmula é verdadeira para todos os números naturais n.