Question
Uma prancha de 10 m está apoiada em uma parede. Se, em um certo instante, sua base está a 2 m da parede e sendo empurrada em direção a esta a uma taxa de 0,5m/s com que rapidez estará crescendo o ângulo agudo que a prancha faz com o solo? (1.0 ponto)
Solution
4.3
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Querida
Avançado · Tutor por 1 anos
Resposta
Para resolver esse problema, podemos usar a trigonometria e a relação entre as dimensões da prancha e o ângulo que ela forma com o solo.Vamos chamar o ângulo agudo que a prancha faz com o solo de θ. Podemos usar a tangente desse ângulo para encontrar a relação entre a altura da prancha (h) e a distância da base da prancha até a parede (x):tan(θ) = h / xQuando a base da prancha está a 2 m da parede, a altura da prancha é de 10 m - 2 m = 8 m. Portanto, temos:tan(θ) = 8 m / 2 m = 4Agora, queremos encontrar a taxa de variação do ângulo θ em relação ao tempo. Podemos usar a regra da cadeia para derivar a equação da tangente em relação ao tempo:d(tan(θ)) / dt = (d(θ) / dt) * (sec^2(θ))Sabemos que a taxa de variação da altura da prancha em relação ao tempo é de 0,5 m/s. Podemos usar a derivada da altura em relação ao tempo para encontrar a taxa de variação do ângulo:dh / dt = 0,5 m/sAgora, podemos usar a relação entre a altura e o ângulo para encontrar a taxa de variação do ângulo:tan(θ) = h / xd(tan(θ)) / dt = (dh / dt) / x - (h / x^2) * dx / dtSubstituindo os valores conhecidos:tan(θ) = 4d(tan(θ)) / dt = (0,5 m/s) / 2 m - (8 m / (2 m)^2) * (-0,5 m/s)d(tan(θ)) / dt = 0,25 m/s - 2 m/s = -1,75 m/sPortanto, a taxa de variação do ângulo agudo que a prancha faz com o solo é de -1,75 rad/s.