Mostre que H:= a+bsqrt (3)vert a,bin Q) é subgrupo de (R,+)

Para mostrar que é um subgrupo de sob a operação de adição, precisamos verificar três condições: fechamento, identidade e inverso.1. **Fechamento**: Se e , então \( (a + b\sqrt{3}) + (c + d\sqrt{3}) \in H \). Para isso, basta mostrar que \( (a + b\sqrt{3}) + (c + d\sqrt{3}) = (a + c) + (b + d)\sqrt{3} \in H \). Como , temos que e . Portanto, \( (a + b\sqrt{3}) + (c + d\sqrt{3}) \in H \), o que prova o fechamento.2. **Identidade**: Devemos mostrar que existe um elemento neutro em sob a operação de adição. O elemento neutro em é 0. Para mostrar que 0 pertence a , devemos encontrar tais que . Isso é possível, pois podemos escolher e , o que nos dá 0. Portanto, 0 pertence a .3. **Inverso**: Para cada elemento , devemos encontrar um elemento tal que \( (a + b\sqrt{3}) + (c + d\sqrt{3}) = 0 \). Isso é possível, pois podemos escolher e , o que nos dá o inverso de em .Portanto, é um subgrupo de sob a operação de adição.