Na área da astronomia e comunicaçōes por satélite, é essencial determinar a distância entre um satélite em órbita e 0 plano que representa a superficie da Terra. Essa medida é crucial para calcular a cobertura de sinal e garantir uma coml unicação eficiente. Um satélite está sob orbita no ponto P=(-4,2,5) e precisa ajustar sua posição até o plano TI 2x+y-2z+8=0 . Qual a distância que o satélite precisa percorrer, em unidades de comprimento?

Para determinar a distância que o satélite precisa percorrer para atingir o plano TI , podemos utilizar o ponto e o plano dado.Primeiro, precisamos encontrar a projeção ortogonal do ponto no plano. Para isso, podemos utilizar a fórmula da projeção ortogonal: Onde é o vetor posição do ponto e é o vetor normal ao plano.No caso do plano TI , o vetor normal é dado por .Substituindo os valores na fórmula, temos: Calculando o produto interno, temos: Substituindo na fórmula, temos: Simplificando, temos: Calculando o produto escalar, temos: Somando os vetores, temos: Agora, podemos calcular a distância entre o ponto e a projeção ortogonal usando a fórmula da distância: Onde são as coordenadas do ponto e são as coordenadas da projeção ortogonal.Substituindo os valores na fórmula, temos: Simplificando, temos: Calculando as potências e somando, temos: Portanto, o satélite precisa percorrer aproximadamente 75,46 unidades de comprimento para atingir o plano TI .