17. Aothe as ecotremidades do diemetro da esfera S: x^2+y^2+z^2+2 x-6 y+z-15=0 e. perpendicular ao plano pi: 5 x-y+2 z=17

Para determinar se a reta é perpendicular ao plano , precisamos calcular o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano. Se o produto escalar for igual a zero, então a reta é perpendicular ao plano.Vamos começar encontrando o vetor diretor da reta . Para isso, precisamos reescrever a equação da reta na forma paramétrica. A equação da reta é dada por: Podemos reescrever essa equação como:\( (x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z-\frac{1}{2})^{2}=\frac{49}{4} \)Isso nos dá um círculo com centro em \( (-1,3,\frac{1}{2}) \) e raio . Portanto, o vetor diretor da reta é dado por: Agora, vamos encontrar o vetor normal ao plano . A equação do plano é dada por: O vetor normal ao plano é dado por: Agora, calculamos o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano:\( \vec{d} \cdot \vec{n} = (1)(5) + (-3)(-1) + (2)(2) = 5 + 3 + 4 = 12 \)Como o produto escalar não é igual a zero, concluímos que a reta não é perpendicular ao plano .