2. Considere a equação linear y''-2y'+y=0 e responda os itens abaixo. (a) Mostre que y(x)=xe^x é uma solução para a equação acima. (b) Mostre que se y_(1) e y_(2) são soluções da EDO acima então y_(1)+y_(2) também é solução desta EDO. (c) Mostre que se y_(3) é solução da EDO acima ecin R então ccdot y_(3) também é solução da EDO acima.

(a) Para mostrar que \( y(x) = xe^x \) é uma solução da equação diferencial , precisamos calcular as derivadas de \( y(x) \) e substituí-las na equação.Primeira derivada: Segunda derivada: Substituindo em : Simplificando: Portanto, \( y(x) = xe^x \) é uma solução da equação diferencial.(b) Se e são soluções da equação diferencial, então: e Queremos mostrar que também é solução. Calculamos: Isso se expande para: Reagrupando: Como e são soluções, temos: Portanto, é uma solução da equação diferencial.(c) Se é uma solução da equação diferencial, então: Queremos mostrar que também é solução. Calculamos: Isso se expande para: Fatorando : Como é solução, temos: Portanto, é uma solução da equação diferencial.