1.5pts 2.5pts EXERCICE 03 1)Montrer que la fonction F xlongmapsto xln(x^2+3x) est une fonction primitive sur ]0;+infty [ de la fonction f:xlongmapsto ln(x^2+3x)+(2x+3)/(x+3) 2)Déterminer les fonctions primitives de f sur I'intervalle / dans les deux cas suivantes : a-f(x)=x^2(x^3+1)^4etI=R b -f(x)=(x)/(x^2)-1 et l=]1;+infty [

1) Pour montrer que la fonction \( F(x) = x \ln(x^2 + 3x) \) est une primitive de la fonction \( f(x) = \ln(x^2 + 3x) + \frac{2x + 3}{x + 3} \) sur l'intervalle , nous devons vérifier que \( F'(x) = f(x) \).Calculons la dérivée de \( F(x) \) : Utilisons la règle du produit et la règle de la chaîne : Simplifions l'expression : Nous avons donc montré que \( F'(x) = f(x) \), ce qui signifie que \( F(x) \) est une primitive de \( f(x) \) sur l'intervalle .2) a) Pour déterminer les primitives de \( f(x) = x^2(x^3 + 1)^4 \) sur , nous devons intégrer \( f(x) \) par rapport à . Utilisons un changement de variable en posant , alors ou . Donc, les primitives de \( f(x) = x^2(x^3 + 1)^4 \) sur sont \( F(x) = \frac{(x^3 + 1)^5}{15} + C \), où est une constante d'intégration.b) Pour déterminer les primitives de \( f(x) = \frac{x}{x^2 - 1} \) sur l'intervalle , nous devons intégrer \( f(x) \) par rapport à . Utilisons un changement de variable en posant , alors ou . Donc, les primitives de \( f(x) = \frac{x}{x^2 - 1} \) sur l'intervalle sont \( F(x) = \frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C \), où