1. (4,0)Esboce a imagem da curva gamma (t)=(c^tcos(t)cdot e^tsin(t))comtgeqslant 0 Determine a equação da reta tangente a curva para t=pi /2 Para finalizar defina outra curva 3 ondc Im(gamma )=Im(beta ) c com vctores vclocidadcs diferentes . Justifique suas respostas c interprete geometricamente.

Para determinar a equação da reta tangente à curva para , precisamos calcular a derivada da função \( \gamma(t) \) em relação a e avaliar essa derivada em .Dada a função \( \gamma(t) = e^t \sin(t) \cos(t) \), podemos calcular a derivada usando a regra do produto e a regra da cadeia: Agora, podemos avaliar essa derivada em : Agora, podemos usar o ponto \( (\frac{\pi}{2}, \gamma(\frac{\pi}{2})) \) e a derivada para escrever a equação da reta tangente: Portanto, a equação da reta tangente à curva para é .Para a segunda parte da pergunta, precisamos encontrar outra curva tal que \( \text{Im}(\gamma) = \text{Im}(\beta) \) e que tenha vetores velocidade diferentes. Uma maneira de fazer isso é considerar uma curva que tenha a mesma imagem complexa que \( \gamma(t) \), mas com uma forma diferente. Por exemplo, podemos considerar a curva \( \beta(t) = e^t \cos(t) \). Vamos calcular a derivada dessa curva: Agora, podemos avaliar essa derivada em : Podemos ver que a derivada da curva \( \beta(t) \) em é diferente da derivada da curva \( \gamma(t) \) em . Portanto, a curva \( \beta(t) = e^t