EXEMPLO 3 Expresse, como uma integral dupla e depois como uma integral iterada, a medida do volume do sólido acima do plano xy , limitado pelo para- bolóide elíptico z=x^2+4y^2 e pelo cilindro x^2+4y^2=4 Calcule a integral iterada para encontrar o volume do sólido.

Para calcular o volume do sólido acima do plano xy, limitado pelo parabolóide elíptico e pelo cilindro , podemos usar a integral dupla e a integral iterada.Primeiro, vamos expressar a medida do volume do sólido como uma integral dupla. Para isso, precisamos determinar os limites de integração. Observando a região, podemos ver que o parabolóide elíptico intercepta o eixo z no ponto (0,0,0) e o cilindro intercepta o eixo z no ponto (0,0,2). Portanto, os limites de integração para z serão de 0 a . Para x e y, os limites de integração serão de -2 a 2, pois o cilindro tem raio 2.Assim, a integral dupla para calcular o volume do sólido é: Agora, vamos calcular a integral iterada para encontrar o volume do sólido. Para isso, primeiro integramos em y e depois em x.Integrando em y, temos: Agora, integramos em x: Portanto, o volume do sólido é .