DETERMINE A SERIE DE FOURIER DN FUNGAD [ f(x)=1,-1 leq x<00,0 leq x<1, f x+2=f(x) ] A) sum_(k=1)^infty-(2)/((2 k-1) pi) operatorname(sen)((2 k-1) x) B) (1)/(2)+sum_(k=1)^infty-(2)/((2 k) pi) operatorname(sen)((2 k) x) c_(1) (1)/(2)+sum_(k=1)^infty (2)/((2 k-1) pi) operatorname(sen)((2 k-1) x) D) (1)/(2)+sum_(k=1)^infty-(2)/((2 k-1) pi) operatorname(sen)((2 k-1) x)

Para determinar a série de Fourier de uma função periódica, precisamos calcular os coeficientes de Fourier. A função dada é \( f(x) = 1 \) para e \( f(x) = 0 \) para , com uma função periódica \( f(x+2) = f(x) \).Os coeficientes de Fourier são calculados usando a seguinte fórmula: onde é a metade da período, que neste caso é 1.Para a função dada, temos: Simplificando, temos:c_k = \frac{1}{2} \int_{-1}^{0} e^{-i k x} \, dx\]Calculando a integral, obtemos: Portanto, a série de Fourier é: Comparando com as opções fornecidas, a resposta correta é:D) \( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}-\frac{2}{(2 k-1) \pi} \operatorname{sen}((2 k-1) x) \)