8 3e^xtgydx+(1-e^x)sec^2ydy=0

Para resolver a equação diferencial dada, podemos usar o método de separação de variáveis. Vamos reescrever a equação: Podemos separar as variáveis e : Agora, integramos ambos os lados da equação: A integral do lado esquerdo é simples: Para a integral do lado direito, podemos usar a substituição. Seja , então . Substituindo, temos: Podemos separar a integral em duas partes: A primeira integral é simples: Para a segunda integral, podemos usar a substituição. Seja \(v = \sec(y)\), então \(\text{d}v = \sec(y) \tan(y) \, \text{d}y\). Substituindo, temos: Agora, integramos: Substituindo de volta \(v = \sec(y)\), temos: Portanto, a solução geral da equação diferencial é: onde é uma constante de integração.