2. (20 pontos) (a) (10 pontos ) Encontre uma série de potências para f(x)=(1)/(1+x) (b) (10 pontos ) Calcule sum _(n=0)^infty ((-1)^n)/(2^n)(n+1)

(a) Para encontrar uma série de potências para a função \( f(x) = \frac{1}{1+x} \), podemos usar a fórmula da série de potências de uma função racional. A fórmula geral é dada por: onde são os coeficientes da série, é o centro da série e é a variável.No caso da função \( f(x) = \frac{1}{1+x} \), podemos reescrever a função na forma \( f(x) = \frac{1}{1-(-x)} \). Agora, podemos identificar que e \( a_n = (-1)^n \).Substituindo esses valores na fórmula geral, obtemos: Portanto, a série de potências para \( f(x) = \frac{1}{1+x} \) é: (b) Para calcular a soma da série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n (n+1)} \), podemos usar a fórmula da série de potências. Neste caso, a série é uma série alternada, pois temos o termo \( (-1)^n \).Podemos reescrever a série como: Agora, podemos calcular a soma da série usando a fórmula da série de potências: A soma da série é dada por: Portanto, a soma da série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n (n+1)} \) é: