1) Determinar o fluxo do campo vetorial overrightarrow (F)(x,y,z)=(2x,2y,2z) através da superficie esférica x^2+y^2+z^2=9 e interior ao cone z=sqrt (x^2+y^2) com normal exterior. Rta: 54pi (2-sqrt (2))

Para determinar o fluxo do campo vetorial através da superfície esférica e interior ao cone com normal exterior, podemos usar a fórmula do fluxo através de uma superfície fechada: Onde é a normal à superfície .Primeiro, vamos encontrar a normal à superfície esférica . A derivada parcial em relação a nos dá . Como , temos . Portanto, .Substituindo e na fórmula do fluxo, temos: Simplificando, obtemos: Como , podemos simplificar ainda mais: Agora, vamos calcular a integral sobre a superfície esférica . Podemos usar coordenadas polares , onde , , e . A área elementar em coordenadas polares é .Substituindo na integral, temos: Simplificando, obtemos:$\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \int_0^3 (18 - 4r^2 \sin^2 \theta) \, dr \, d\theta \, d\phi = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \left[ 18r - \frac{4r^3 \sin^2 \theta}{3} \right]_0^3 \, d\theta \, d\phi = \int_0