6. Calcule a integral dada a seguir. int tg^5xsec^3xdx

Para calcular a integral \(\int \tan^5(x) \sec^3(x) \, dx\), podemos usar uma substituição adequada. Vamos usar a substituição \(u = \tan(x)\) e \(v = \sec(x)\).Primeiro, calculamos as derivadas de e : Agora, substituímos e na integral: Usamos a substituição \(u = \tan(x)\) e \(v = \sec(x)\): Como \(v = \sec(x)\) e \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\), podemos reescrever em termos de \(\cos(x)\): Mas, para simplificar, vamos usar a relação \(v = \sec(x)\) diretamente: Para resolver essa integral, precisamos de uma forma de expressar \(\sec(x)\) e \(\tan(x)\) em termos de uma única variável. Vamos usar a identidade trigonométrica: Mas, para simplificar, vamos usar a identidade: Agora, substituímos \(\sec^2(x)\) na integral: Usamos a identidade \(\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x)\): Agora, substituímos \(u = \tan(x)\): Expandindo: Integrando termo a termo: \[ = \frac{u^6}{6} + \frac