63. Se a e b são números positivos , ache o valor máximo de f(x)=x^a(1-x)^b,0leqslant xleqslant 1

Para encontrar o valor máximo da função \( f(x) = x^a(1-x)^b \) no intervalo , podemos usar o método de derivadas para encontrar os pontos críticos.Primeiro, vamos calcular a derivada da função \( f(x) \) em relação a \('(x) = \frac{d}{dx} \left( x^a(1-x)^b \right) \]Usando a regra do produto, temos: Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero: Fatorando \( x^{a-1}(1-x)^{b-1} \) da equação, temos: Isso nos dá duas equações:1. \( x^{a-1}(1-x)^{b-1} = 0 \)2. \( a(1-x) - b x = 0 \)A primeira equação \( x^{a-1}(1-x)^{b-1} = 0 \) só pode ser verdadeira se ou , mas não satisfaz a segunda equação.Para a segunda equação \( a(1-x) - b x = 0 \), podemos resolver para : Agora, temos três pontos a considerar: , e .Para determinar qual desses pontos dá o valor máximo, podemos avaliar a função \( f(x) \) em cada um desses pontos:1. \( f(0) = 0^a(1-0)^b = 0 \)2. \( f(1) = 1^a(1-1)^b = 0 \)3. \( f\left(\frac{a}{a + b}\right) = \left(\frac{a}{a + b}\right)^a \left(1 - \frac{a}{a + b}\right)^b \)Para : Comparando os valores, notamos que \( f\left(\frac{a}{a + b}\right) \) é o maior quando e são positivos, pois a função é uma função crescente até um ponto e depois decrescente.Portanto, o valor máximo de \( f(x) \) é dado por: