1. 1+3+3^2+... +3^n=(3^n+1-1)/(2)

Para provar a fórmula dada, podemos usar indução matemática. Vamos verificar se a fórmula é verdadeira para n = 1 e n = k, e depois mostrar que implica que ela também é verdadeira para n = k + 1.Para n = 1:Substituindo n = 1 na fórmula, temos: Simplificando, temos: Portanto, a fórmula é verdadeira para n = 1.Para n = k:Suponha que a fórmula seja verdadeira para n = k, ou seja: Para n = k + 1:Queremos mostrar que a fórmula também é verdadeira para n = k + 1, ou seja: Podemos reescrever a expressão da seguinte forma: Usando a suposição de indução para a primeira parte da expressão, temos: Simplificando, temos: Portanto, a fórmula é verdadeira para n = k + 1.Concluímos que a fórmula é verdadeira para todos os números naturais n.