5) Demonstrar por "indução matemática": a+acdot q+acdot q^2+... +acdot q^n=(a(q^n+1-1))/(q-1) forall nin N

Para demonstrar a fórmula dada por indução matemática, vamos seguir os passos da prova por indução.Passo 1: Base da induçãoQueremos mostrar que a fórmula é verdadeira para n = 0. Substituindo n = 0 na fórmula, temos: Simplificando, obtemos: Portanto, a fórmula é verdadeira para n = 0.Passo 2: Passo da induçãoAgora, vamos assumir que a fórmula é verdadeira para algum inteiro k, ou seja, assumimos que: Queremos mostrar que a fórmula também é verdadeira para k + 1, ou seja, queremos mostrar que: Substituindo a suposição de indução na equação acima, temos: Multiplicando ambos os lados da equação por (q-1), obtemos: Simplificando, temos: Portanto, a fórmula é verdadeira para k + 1, se é verdadeira para k.Passo 3: ConclusãoComo a fórmula é verdadeira para n = 0 (base da indução) e se é verdadeira para k + 1 (passo da indução), podemos concluir que a fórmula é verdadeira para todos os números naturais n. Portanto, a fórmula é verdadeira para n = 0, 1, 2, 3,...