P6) Seja R a região do primeiro quadrante delimitada pelas hipérboles xy=1 xy=9 e as retas y=x,y=4x Usando a transformação x=u/v,y=uv com ugt 0 e vgt 0 calcule iint _(R)(sqrt ((y)/(x))+sqrt (xy))dxdy P7) Usando a mudança de variável u=x+y, v=x-y calcule iint _(R)(x+y)^2sen^2(x-y)dxdy ondeRé a região vert xvert +vert yvert leqslant pi P8) Calcule iint _(R)sen((x-y)/(x+y))dxdy sobre a região R delimitada pelo qua- drilátero ABCD de vértices A(1,1),B(2,2),C(4,0) e D(2,0)

Para resolver essas integrais duplas, precisamos aplicar as transformações de variáveis indicadas e calcular os jacobianos correspondentes. Vamos abordar cada problema separadamente:**P6)** A transformação dada é e . O jacobiano dessa transformação é calculado como: A região no plano \( (x, y) \) se transforma em uma região no plano \( (u, v) \) que precisa ser determinada pelas condições dadas: , , , .Substituindo as equações na transformação:- se torna ou .- se torna ou .- se torna ou ou .- se torna ou ou .Assim, a região no plano \( (u, v) \) é delimitada por e .Agora, substituímos na integral: Calculamos essa integral sobre a região e : Resolvendo essa integral, obtemos o resultado final.**P7)** Para a mudança de variável e , o jacobiano é: A região definida por se transforma em uma região no plano \( (u, v) \) que precisa ser analisada. Essa região é um losango centrado na origem com vértices nos pontos \( (\pi, 0) \), \( (0, \pi) \), \( (-\pi, 0) \), \( (0, -\pi) \).A integral se torna: Calculamos essa integral sobre a região transformada.**P8)** A região é um quadrilátero com vértices \( A(1,1) \), \( B(2,2) \), \( C(4,0) \), \( D(2,0) \). Podemos parametrizar essa região ou dividir em duas regiões triangulares para facilitar a integração.A integral é: Podemos usar a mudança de variável e novamente, onde o jacobiano já foi calculado como .A integral se torna: Calculamos essa integral sobre a região transformada correspondente ao quadrilátero .Cada uma dessas integrais requer cálculos detalhados adicionais para obter os resultados numéricos finais.