Calcule a seguinte integral int (x)/(sqrt (x+1))dx A. 2xsqrt (x+1)+C B. Axsqrt (x+1)-(2)/(3)(x+1)^((2)/(1))+C C. 2xsqrt (x+1)-2(x+1)^(3)+C D. 2sqrt (x+1)-(4)/(3)(x+1)^(3)+C E. 2xsqrt (x+1)-(4)/(3)(x+1)^(3)+C

Para calcular a integral , podemos usar a técnica de substituição. Vamos fazer a substituição . Então, e .Substituindo na integral, temos: Podemos separar a integral em duas partes: Simplificando cada termo: Agora, integramos cada termo separadamente: Para integrar , que é , usamos a regra de potência: Para integrar , usamos a regra de potência: Portanto, a integral se torna: Comparando com as opções fornecidas, a resposta correta é:D. \(2\sqrt{x+1} - \frac{4}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} + C\)