7) Demonstrar por "indução matemática": 2^ngt n^2 forall ngeqslant 5,nin N

Para demonstrar a afirmação por indução matemática, vamos seguir os passos da prova por indução.Passo 1: Base da induçãoVerificamos se a afirmação é verdadeira para o valor inicial, que é . Portanto, a afirmação é verdadeira para .Passo 2: Passo da induçãoSupomos que a afirmação é verdadeira para algum , ou seja, .Passo 3: Prova da afirmação para Queremos mostrar que a afirmação também é verdadeira para , ou seja, \( 2^{k+1} > (k+1)^2 \).Começamos multiplicando ambos os lados da suposição por 2: Agora, precisamos mostrar que \( 2k^2 > (k+1)^2 \) para .Expandimos \( (k+1)^2 \): Então, precisamos mostrar que: Subtraímos de ambos os lados: Reorganizamos a desigualdade: Para , a expressão é positiva. Portanto, a desigualdade \( 2k^2 > (k+1)^2 \) é verdadeira para .Portanto, concluímos que a afirmação \( 2^{k+1} > (k+1)^2 \) é verdadeira para .Concluímos que a afirmação é verdadeira para todo e por indução matemática.