Question
a) (1,5 ponto) Determine x c y de modo a maximizar R. b) (0,5 ponto) Qual a receita máxima? 3) (2,0 pontos) Seja a função f(x,y)=5x^2+6y^2-xy sujeita à restrição x+y=24 Determine o máximo def.
Solution
4
(316 Votos)
Manuela Maria
Elite · Tutor por 8 anos
Resposta
Para resolver o problema de maximização da função R(x, y) = 5x^2 + 6y^2 - xy, sujeita à restrição x + y = 24, podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.Primeiro, vamos escrever a função R(x, y) em termos de uma variável auxiliar λ, utilizando a restrição dada:R(x, y, λ) = 5x^2 + 6y^2 - xy + λ(x + y - 24)Agora, vamos calcular as derivadas parciais de R(x, y, λ) em relação a x, y e λ, e igualá-las a zero:∂R/∂x = 10x - y + λ = 0∂R/∂y = 12y - x + λ = 0∂R/∂λ = x + y - 24 = 0Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:10x - y + λ = 012y - x + λ = 0x + y - 24 = 0Isso nos dá:x = 24 - y10(24 - y) - y + λ = 012y - (24 - y) + λ = 0Substituindo x na segunda equação:240 - 10y - y + λ = 012y - 24 + y + λ = 0Simplificando:-11y + λ = 013y + λ = 0Isso nos dá:λ = 11yλ = 13yIgualando as duas expressões para λ:11y = 13y-2y = 0Portanto, y = 0. Substituindo y = 0 na restrição x + y = 24, encontramos x = 24.Agora, substituindo x = 24 e y = 0 na função R(x, y), encontramos:R(24, 0) = 5(24)^2 + 6(0)^2 - 24(0) = 2880Portanto, a receita máxima é 2880.Para determinar o valor de x e y que maximiza a função R(x, y), podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. A função Lagrange é dada por:L(x, y, λ) = 5x^2 + 6y^2 - xy + λ(x + y - 24)Calculamos as derivadas parciais de L(x, y, λ) em relação a x, y e λ, e igualamos a zero:∂L/∂x = 10x - y + λ = 0∂L/∂y = 12y - x + λ = 0∂L/∂λ = x + y - 24 = 0Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:x = 24 - y10(24 - y) - y + λ = 012y - (24 - y) + λ = 0Substituindo x na segunda equação:240 - 10y - y + λ = 012y - 24 + y + λ = 0Simplificando:-11y + λ = 013y + λ = 0Isso nos dá:λ = 11yλ = 13yIgualando as duas expressões para λ:11y = 13y-2y = 0Portanto, y = 0. Substituindo y = 0 na restrição x + y = 24, encontramos x = 24.Portanto, o valor de x e y que maximiza a função R(x, y) = 24 e y = 0.