Q7. Calcule a integral de linha onde C é a curva dada. (a) int _(C)yds , onde C: x=t^2, y=2t, 0leqslant tleqslant 3 (b) int _(C)xyds , onde Céa metade direita do circulo x^2+y^2=16 (c) int _(C)xe^ydx . onde Céo arco da curva x=e^y de (0,1) a (e,1) (d) int _(C)xe^yzds , onde Céo segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3) (e) int _(C)zdx+xdy+ydz onde C x=t^2, y=t^3, z=t^2, 0leqslant tleqslant 1

Para calcular a integral de linha, precisamos calcular a integral da função integranda ao longo da curva C. Vamos calcular cada uma das opções:(a) , onde C: Para calcular essa integral, precisamos substituir a função integranda em termos de t e depois integrar em relação a t. A função integranda é y, que é igual a 2t. Então, temos: Para calcular ds, precisamos calcular o elemento de comprimento da curva C. Podemos fazer isso calculando a derivada de x e y em relação a t e depois usando a fórmula ds = sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)dt. Calculando as derivadas, temos:dx/dt = 2tdy/dt = 2Usando a fórmula, temos:ds = sqrt((2t)^2 + 2^2)dt = sqrt(4t^2 + 4)dtAgora, podemos substituir ds na integral e calcular a integral em relação a t: Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes ou substituição. Vamos usar substituição. Substituindo u = 4t^2 + 4, temos:du = 8tdtA integral se torna: Resolvendo essa integral, obtemos: Portanto, a resposta correta é (a) .(b) , onde C é a metade direita do círculo Para calcular essa integral, precisamos substituir a função integranda em termos de x e y e depois integrar em relação a x e y. A função integranda é xy, que é igual a x*sqrt(16 - x^2). Então, temos: Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes ou substituição. Vamos usar integração por partes. Fazendo isso, temos: Resolvendo essa integral, obtemos: Portanto, a resposta correta é (b) 60.(c) , onde C é o arco da curva de a Para calcular essa integral, precisamos substituir a função integranda em termos de x e y e depois integrar em relação a x e y. A função integranda é xe^y, que é igual a e^y * e^y = e^(2y). Então, temos: Resolvendo essa integral, obtemos:$\int _{C}xe^{y}dx = \frac{1}{2}e^{2y}\bigg|