1. (3 pontos) Determine para quais valores de r a série sum _(n=1)^infty 2^n(x-3)^n se torna conver- gente.

Para determinar para quais valores de a série \(\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n}(x-3)^{n}\) converge, podemos aplicar o teste do raio de convergência para séries de potências. A série é da forma \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n (x - c)^n\), onde e .O raio de convergência pode ser encontrado usando a fórmula: Neste caso, temos: Portanto, A série converge quando . Assim, temos: Isso implica que: Resolvendo a desigualdade, obtemos: Portanto, a série converge para no intervalo aberto \((2.5, 3.5)\).