8- Dois pontos A e B estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CÂB mede 75^circ e o ângulo ACB mede 75^circ Determine a largura do rio. A) 40 m. B) 20 m. C) 20sqrt (3)m D) 30 m. E) 25.

Para resolver esse problema, podemos usar a semelhança de triângulos. Seja x a largura do rio. Podemos observar que o triângulo ACB é semelhante ao triângulo ACD, pois possuem ângulos congruentes. Usando a propriedade de semelhança de triângulos, podemos escrever a seguinte proporção: Substituindo os valores conhecidos, temos: Sabemos que o ângulo ACB é e o ângulo CÂB é , o que implica que o triângulo ACB é isósceles. Portanto, AC = AB.Assim, a proporção fica: Simplificando, temos: Portanto, BD = x.Para determinar o valor de x, podemos usar a lei dos cossenos no triângulo ACD:\(AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(75^{\circ})\)Como AC = 40 m e CD = BD = x, temos:\(x^2 = 40^2 + x^2 - 2 \cdot 40 \cdot x \cdot \cos(75^{\circ})\)Simplificando, temos:\(x^2 = 1600 - 80x \cdot \cos(75^{\circ})\)Como \(\cos(75^{\circ}) = -\cos(15^{\circ}) = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\), substituímos: Multiplicando ambos os lados por 4, temos:\(4x^2 = 6400 + 80x(\sqrt{6} + \sqrt{2})\)Isso é uma equação quadrática em x. Resolvendo essa equação, encontramos: Portanto, a largura do rio é m.A resposta correta é a opção C) m.